A Gömböc és a gömb

A Gömböc és a gömb közeli rokonsága bizonyítható. Minden test lapossága és hosszúkássága számszerűsíthető, mindkét szám minimális mértéke 1. A Gömb lapossága és hosszúkássága éppen 1. Bizonyítható, hogy ugyanez igaz a Gömböcre is. Minden más típusú testnél a laposság vagy a hosszúkásság meghaladja az egyet. A Gömböc tehát a leginkább gömbszerű test, innen ered a neve.

Érzékenység

A Gömböc forma nagyon érzékeny, egészen kis mértékben megváltoztatva is elvesztheti egyedi tulajdonságát. A fényképen szereplő példány egy tervezési hiba miatt néhány milliméterrel szélesebb lett a kelleténél. Az eredmény: egy helyett 16 stabil egyensúly. Egy-egy teknőspáncél is ehhez hasonlóan viselkedik, ami azt sugallja, hogy ezek a formák egy, a Gömböchöz hasonló alakzat tökéletlen változatai.  

A Gömböc a természetben

Minden bizonnyal érzékenysége okozza, hogy az élettelen természetben (pl. kavicsok között) nem, vagy csak nagyon ritkán található Gömböc típusú forma. Az élő természetben azonban az evolúció létre tudott hozni stabilan ilyen típusú formákat, ilyen például az Indiai csillagteknős páncélja. A magas boltozatú páncél felborulás esetén segíti a teknőst a talpra állásban.

Az élettelen természetben a természetes kopási folyamatok csökkentik az egyensúlyi helyzetek számát, közelítve a „platóni” kockához és Gömböchöz mint elérhetetlen kezdő- és végpontokhoz. Ez az elmélet

  • segített bizonyítani ősi folyók létezését a Marson és 
  • filozófiai keretet adott a természetes alakformálódásra, ahol a kezdőpont (statisztikai átlagban) a kocka, megerősítve Platón elméletét, aki a Földet a kockával azonosította.
Kopási folyamatok emélete, labor kíséletei, földi és marsi példák, a Nature Communications cikke alapján

A Gömböc mint "őstest"

A Gömböc mint "őstest"

Ha a formákat aszerint csoportosítjuk, hogy hányféle egyensúlyi helyzetük lehet egy vízszintes felületen, akkor a Gömböcből előállíthatjuk bármelyik csoport tagjait. Fordítva viszont nem igaz az állítás: a Gömböc létére nem lehet következtetni más formák létezéséből. Szoros az analógia a gyógyászatban használt őssejttel, melyből tetszőleges típusú sejt előállítható differenciálódás által, maga viszont nem állítható elő bonyolultabb sejtekből.
 
A testek osztályozhatók stabil (s) és instabil (i) helyzeteik alapján. Ezt táblázattal is szemléltethetjük, ahol a sorok az stabil, az oszlopok az instabil egyensúlyok számát jelölik. (A harmadik, ún. „nyereg” típusú egyensúlyok száma az előző kettőből egyértelműen meghatározható: s + i – 2). A kavicsok többsége a (2,2)-es cellába tartozik. A szabályos tetraéder (4,4)-es: 4 lapján stabilan áll, 4 csúcsán instabilan, 6 élének bármelyikére állítva pedig nyereg típusú egyensúlyban van, azaz eldől ha hagyjuk, de csak az egyik irányban. A táblázat (1,1)-es „őseleme” a Gömböc.
 
Az egyensúlyi helyzetek száma kis változtatással növelhető. Ha egy kocka egy csúcsából egy kis darabot ügyesen levágunk, már megállítható rajta. Ugyanígy működik Kolumbusz asztalhoz koccantott tojása is. 

A táblázatban tehát jobbra és lefelé biztosan haladhatunk – ezért hozható létre a Gömböcből tetszőleges számú egyensúlyi helyzetű test. A táblázat többi eleméből viszont nem lehet a Gömböc létére következtetni, hiszen visszafele irányban már nem működik a „Kolumbusz algoritmus”.

Konvex testek osztályozása egyensúlyi helyzeteik szerint (s = stabil, i = instabil, n = nyereg = s + i – 2)